HourRank 20: Birjik and Nicole's Tree Game

https://www.hackerrank.com/contests/hourrank-20/challenges/birjik-and-nicoles-tree-game

解法

黒頂点を post-order でソートする。この列を左から順に見ていき、隣接する 2 点の LCA を列に挿入することを繰り返す。これだけで LCA の閉包（？）が作れる。

HL 分解は LCA を求める部分にしか使っていない。

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <string>
#include <vector>
#include <functional>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <set>

struct HLDecomp {
	using Tree = std::vector<std::vector<int>>;
	const Tree &tree;

	std::vector<int> parent;
	std::vector<int> head;
	std::vector<int> vid;

	HLDecomp(const Tree &tree) : tree(tree) {
		const int n = tree.size();
		const int root = 0;
		std::stack<std::pair<int, int>> stack;
		stack.emplace(root, 0);

		parent.assign(n, -1);
		head.assign(n, -1);
		vid.assign(n, -1);

		std::vector<int> heavy(n, -1);
		std::vector<int> size(n, 1);
		while (!stack.empty()) {
			const int u = stack.top().first;
			const int i = stack.top().second;
			if (i < tree[u].size()) {
				stack.top().second++;
				const int v = tree[u][i];
				if (v != parent[u]) {
					parent[v] = u;
					stack.emplace(v, 0);
				}
			} else {
				stack.pop();
				int max = 0;
				for (int v : tree[u]) {
					if (v != parent[u]) {
						size[u] += size[v];
						if (max < size[v]) {
							max = size[v];
							heavy[u] = v;
						}
					}
				}
			}
		}

		std::queue<int> queue;
		queue.push(0);
		int now = 0;
		while (!queue.empty()) {
			const int h = queue.front();
			queue.pop();
			for (int i = h; i != -1; i = heavy[i]) {
				head[i] = h;
				vid[i] = now++;
				for (int j : tree[i]) {
					if (j != parent[i] && j != heavy[i]) {
						queue.push(j);
					}
				}
			}
		}
	}

	template<typename T>
	void foreach(int u, int v, T func) {
		while (true) {
			if (vid[u] > vid[v]) {
				std::swap(u, v);
			}
			if (head[u] != head[v]) {
				func(vid[head[v]], vid[v]);
				v = parent[head[v]];
			} else {
				func(vid[u], vid[v]);
				break;
			}
		}
	}

	int lca(int u, int v) {
		while (true) {
			if (vid[u] > vid[v]) {
				std::swap(u, v);
			}
			if (head[u] != head[v]) {
				v = parent[head[v]];
			} else {
				return u;
			}
		}
	}
};

int main() {
	int n;
	std::cin >> n;

	std::vector<std::vector<int>> tree(n);
	for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
		int u, v;
		scanf("%d %d", &u, &v);
		u--;
		v--;
		tree[u].push_back(v);
		tree[v].push_back(u);
	}

	HLDecomp hld(tree);
	int q;
	std::cin >> q;

	std::vector<int> post(n);
	std::vector<int> ord;
	std::vector<int> depth(n);
	int k = 0;

	std::function<void(int, int)> dfs = [&](int u, int p) {
		for (int v : tree[u]) {
			if (v != p) {
				depth[v] = depth[u] + 1;
				dfs(v, u);
			}
		}
		post[u] = k++;
		ord.push_back(u);
	};
	dfs(0, -1);

	std::vector<int> imos(n);
	while (q--) {
		int k;
		scanf("%d", &k);
		std::set<int> q;
		q.insert(post[0]);
		for (int i = 0; i < k; i++) {
			int t;
			scanf("%d", &t);
			t--;
			q.insert(post[t]);
			imos[t]++;
		}
		std::vector<int> a;
		std::map<int, int> parent;
		while (!q.empty()) {
			int x = ord[*q.begin()];
			q.erase(q.begin());
			a.push_back(x);
			if (!q.empty()) {
				int y = ord[*q.begin()];
				int z = hld.lca(x, y);
				if (z != y) {
					parent[y] = z;
					q.insert(post[z]);
				}
				parent[x] = z;
			}
		}
		std::vector<int> ans(k + 1);
		for (int i : a) {
			if (i != 0) {
				int p = parent[i];
				imos[p] += imos[i];
				ans[imos[i]] += depth[i] - depth[p];
			} else {
				ans[imos[i]]++;
			}
		}
		ans[0] = n;
		for (int i = 1; i < k + 1; i++) {
			ans[0] -= ans[i];
		}
		for (int i = 0; i < k + 1; i++) {
			printf("%d ", ans[i]);
		}
		printf("\n");
		for (int i : a) {
			imos[i] = 0;
		}
	}
}

World Codesprint 10: Node-Point Mappings

https://www.hackerrank.com/contests/world-codesprint-10/challenges/node-point-mappings

解法

一番左の点（複数あるなら下にある方）を根に対応させる。根を中心に偏角ソートし、たとえば部分木のサイズが [4, 5, 3] となっていたら下図のように領域を分割する。

f:id:pekempey:20170502000232p:plain

これを再帰的に繰り返すことでかならず構築できる。

三点が一直線上に並ばないことと、一番左の点を中心にしているため、外積の正負を比較関数にして偏角ソート可能。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <functional>
#include <algorithm>
#include <complex>

using P = std::complex<long long>;

long long cross(const P &a, const P &b) {
	return imag(conj(a) * b);
}

std::vector<std::vector<int>> readTree(int n) {
	std::vector<std::vector<int>> tree(n);
	for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
		int u, v;
		scanf("%d %d", &u, &v);
		u--;
		v--;
		tree[u].push_back(v);
		tree[v].push_back(u);
	}
	return tree;
}

std::vector<P> readPoints(int n) {
	std::vector<P> points(n);
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		long long x, y;
		scanf("%lld %lld", &x, &y);
		points[i].real(x);
		points[i].imag(y);
	}
	return points;
}

int main() {
	int n;
	std::cin >> n;

	auto tree = readTree(n);
	auto points = readPoints(n);

	std::vector<P> map(n);
	std::vector<int> size(n);

	std::function<void(int, int)> dfs = [&](int u, int p) {
		size[u] = 1;
		for (int v : tree[u]) {
			if (v != p) {
				dfs(v, u);
				size[u] += size[v];
			}
		}
	};
	dfs(0, -1);

	std::function<void(int, int, std::vector<P>)> dfs2 = [&](int u, int p, std::vector<P> ps) {
		auto it = min_element(ps.begin(), ps.end(), [&](const P &a, const P &b) {
			return a.real() != b.real() ? a.real() < b.real() : a.imag() < b.imag();
		});
		P min = *it;
		ps.erase(it);
		std::sort(ps.begin(), ps.end(), [&](const P &a, const P &b) {
			return cross(a - min, b - min) < 0;
		});
		map[u] = min;

		int k = 0;
		for (int i = 0; i < tree[u].size(); i++) {
			const int v = tree[u][i];
			if (v == p) {
				continue;
			}
			std::vector<P> next;
			for (int j = 0; j < size[v]; j++) {
				next.push_back(ps[k++]);
			}
			dfs2(v, u, next);
		}
	};
	dfs2(0, -1, points);

	for (int i = 0; i < n; i++) {
		int j = std::find(points.begin(), points.end(), map[i]) - points.begin();
		std::cout << j + 1 << " ";
	}
}

World Codesprint 10: Maximum Disjoint Subtree Product

https://www.hackerrank.com/contests/world-codesprint-10/challenges/maximum-disjoint-subtree-product

解法

全方位木 DP の知名度も高まってきたので説明は省略する。以前に作成した全方位木 DP のライブラリを使用した。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <functional>
#include <algorithm>

// add :: T -> T -> T
//     {v1,v2,...,vm}+vm+1
// bundle :: T -> T
//     u->{v1,v2,v3,...,vm} 
template<class T, class F1, class F2>
std::vector<T> freeTreeDP(const std::vector<std::vector<int>> &g, F1 add, F2 bundle) {
	const int n = g.size();
	std::vector<T> dp(n);
	std::function<void(int, int)> dfs = [&](int u, int p) {
		for (int v : g[u]) {
			if (v != p) {
				dfs(v, u);
				dp[u] = add(dp[u], dp[v]);
			}
		}
		dp[u] = bundle(dp[u], u);
	};
	dfs(0, -1);
	std::function<void(int, int)> dfs2 = [&](int u, int p) {
		const int m = g[u].size();
		T l;
		std::vector<T> r(m);
		for (int i = m - 2; i >= 0; i--) {
			r[i] = add(dp[g[u][i + 1]], r[i + 1]);
		}
		for (int i = 0; i < m; i++) {
			const int v = g[u][i];
			dp[u] = bundle(add(l, r[i]), u);
			l = add(l, dp[v]);
			if (v != p) {
				dfs2(v, u);
			}
		}
		dp[u] = bundle(l, u);
	};
	dfs2(0, -1);
	return dp;
}

int main() {
	const long long INF = 1e18;
	struct foo {
		long long max = -INF;
		long long min = INF;
		long long maxc = -INF;
		long long minc = INF;
		long long maxp;
		long long minp;
	};

	int n;
	std::cin >> n;

	std::vector<long long> w(n);
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		scanf("%lld", &w[i]);
	}

	std::vector<std::vector<int>> tree(2 * n - 1);
	for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
		int u, v;
		scanf("%d %d", &u, &v);
		u--;
		v--;
		tree[u].push_back(i + n);
		tree[i + n].push_back(u);
		tree[v].push_back(i + n);
		tree[i + n].push_back(v);
	}

	auto add = [&](const foo &a, const foo &b) {
		foo c;
		c.max = std::max(a.max, b.max);
		c.min = std::min(a.min, b.min);
		c.maxc = std::max(0LL, a.maxc) + std::max(0LL, b.maxc);
		c.minc = std::min(0LL, a.minc) + std::min(0LL, b.minc);
		c.maxp = a.max * b.max;
		c.minp = a.min * b.min;
		return c;
	};

	auto bundle = [&](const foo &a, int id) {
		foo c;
		if (id < n) {
			c.maxc = std::max(a.maxc + w[id], w[id]);
			c.minc = std::min(a.minc + w[id], w[id]);
			c.max = std::max(a.max, c.maxc);
			c.min = std::min(a.min, c.minc);
		} else {
			c = a;
		}
		return c;
	};

	auto dp = freeTreeDP<foo>(tree, add, bundle);

	long long ans = -1e18;
	for (int i = n; i < 2 * n - 1; i++) {
		ans = std::max(ans, std::max(dp[i].maxp, dp[i].minp));
	}
	std::cout << ans << std::endl;
}

World Codesprint 10: Permutation Happiness

https://www.hackerrank.com/contests/world-codesprint-10/challenges/permutation-happiness

解法

DP。1～n の順列に n+1 を挿入するイメージで更新していく。山の頂上（極大点）の個数を状態として持つと良い。dp[i: 順列のサイズ][j: 頂上の個数] とする。

(1) 頂上の隣に挿入した場合は、頂上の個数は変わらない。2j 通り。
f:id:pekempey:20170501234643p:plain

(2) それ以外の場所に挿入すると、頂上の個数が一つ増える。i+1-2j 通り。
f:id:pekempey:20170501234647p:plain

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <vector>

const int mod = 1e9 + 7;

struct modint {
	int n;
	modint(int n = 0) : n(n) {}
};

modint operator+(modint a, modint b) { return modint((a.n += b.n) >= mod ? a.n - mod : a.n); }
modint operator-(modint a, modint b) { return modint((a.n -= b.n) < 0 ? a.n + mod : a.n); }
modint operator*(modint a, modint b) { return modint(1LL * a.n * b.n % mod); }
modint &operator+=(modint &a, modint b) { return a = a + b; }
modint &operator-=(modint &a, modint b) { return a = a - b; }
modint &operator*=(modint &a, modint b) { return a = a * b; }

int main() {
	int q;
	std::cin >> q;

	const int N = 3000;

	std::vector<std::vector<modint>> dp(N + 1, std::vector<modint>(N + 1));

	dp[1][1] = 1;

	for (int i = 1; i < N; i++) {
		for (int j = 0; j <= i; j++) {
			dp[i + 1][j] += dp[i][j] * (2 * j);
			dp[i + 1][j + 1] += dp[i][j] * (i + 1 - 2 * j);
		}
	}

	while (q--) {
		int n, k;
		std::cin >> n >> k;

		modint ans = 0;
		for (int i = 0; i <= N; i++) {
			if (n - i >= k) {
				ans += dp[n][i];
			}
		}
		std::cout << ans.n << std::endl;
	}
}

GCJ 2017 Qual

A 問題

+- の列があって、連続する K マスを反転するのを繰り返して全部 + にする問題。まったく同じ問題が蟻本にある。

B 問題

10 進表記で数字が昇順になるような N 以下の最大の整数を求める問題。なるべく上位桁は動かさない方がいいということ、ある桁の数字を 1 減らしたらそれに続く数字はすべて 9 にすればいいことを踏まえれば解くことができる。

C 問題

区間の長さだけ保持しておけばよくて、大きい区間から順に分割していくのを繰り返せば良い。 分割過程では値が重複しやすいため、同じ長さの区間をまとめて処理すれば速くなりそうである。

分割の様子を図にすると以下の通り。

木の高さは O(log n) である。また、各レベルにおける値の種類数はたかだか 2 である（これは最大値と最小値の差がたかだか 1 であることから分かる）。ゆえにまとめて処理すれば O(log n) 回で収まる。

D 問題

条件を整理すると

  • どの列/行も、x を 2 つ以上含まない
  • どの列/行も、x と o の両方を同時に含まない
  • どの列/行も、o を 2 つ以上含まない
  • どの対角線も、+ を 2 つ以上含まない
  • どの対角線も、+ と o の両方を同時に含まない
  • どの対角線も、o を 2 つ以上含まない

となる。あるマスに o が書かれているというのは、あるマスに + と x の両方が書かれていると言い換えられる。この言い換えにより条件はよりシンプルになる。

  • どの列/行も、x を 2 つ以上含まない
  • どの対角線も、+ を 2 つ以上含まない

+/x を o に変える操作は許されているので、+/x は完全に独立して考えることができる。よって、それぞれ独立に最大化すればよい。これは貪欲にできる。