World Codesprint 10: Permutation Happiness

https://www.hackerrank.com/contests/world-codesprint-10/challenges/permutation-happiness

解法

DP。1～n の順列に n+1 を挿入するイメージで更新していく。山の頂上（極大点）の個数を状態として持つと良い。dp[i: 順列のサイズ][j: 頂上の個数] とする。

(1) 頂上の隣に挿入した場合は、頂上の個数は変わらない。2j 通り。

(2) それ以外の場所に挿入すると、頂上の個数が一つ増える。i+1-2j 通り。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <vector>

const int mod = 1e9 + 7;

struct modint {
	int n;
	modint(int n = 0) : n(n) {}
};

modint operator+(modint a, modint b) { return modint((a.n += b.n) >= mod ? a.n - mod : a.n); }
modint operator-(modint a, modint b) { return modint((a.n -= b.n) < 0 ? a.n + mod : a.n); }
modint operator*(modint a, modint b) { return modint(1LL * a.n * b.n % mod); }
modint &operator+=(modint &a, modint b) { return a = a + b; }
modint &operator-=(modint &a, modint b) { return a = a - b; }
modint &operator*=(modint &a, modint b) { return a = a * b; }

int main() {
	int q;
	std::cin >> q;

	const int N = 3000;

	std::vector<std::vector<modint>> dp(N + 1, std::vector<modint>(N + 1));

	dp[1][1] = 1;

	for (int i = 1; i < N; i++) {
		for (int j = 0; j <= i; j++) {
			dp[i + 1][j] += dp[i][j] * (2 * j);
			dp[i + 1][j + 1] += dp[i][j] * (i + 1 - 2 * j);
		}
	}

	while (q--) {
		int n, k;
		std::cin >> n >> k;

		modint ans = 0;
		for (int i = 0; i <= N; i++) {
			if (n - i >= k) {
				ans += dp[n][i];
			}
		}
		std::cout << ans.n << std::endl;
	}
}

GCJ 2017 Qual

A 問題

+- の列があって、連続する K マスを反転するのを繰り返して全部 + にする問題。まったく同じ問題が蟻本にある。

B 問題

10 進表記で数字が昇順になるような N 以下の最大の整数を求める問題。なるべく上位桁は動かさない方がいいということ、ある桁の数字を 1 減らしたらそれに続く数字はすべて 9 にすればいいことを踏まえれば解くことができる。

C 問題

区間の長さだけ保持しておけばよくて、大きい区間から順に分割していくのを繰り返せば良い。 分割過程では値が重複しやすいため、同じ長さの区間をまとめて処理すれば速くなりそうである。

分割の様子を図にすると以下の通り。

木の高さは O(log n) である。また、各レベルにおける値の種類数はたかだか 2 である（これは最大値と最小値の差がたかだか 1 であることから分かる）。ゆえにまとめて処理すれば O(log n) 回で収まる。

D 問題

条件を整理すると

• どの列/行も、x を 2 つ以上含まない
• どの列/行も、x と o の両方を同時に含まない
• どの列/行も、o を 2 つ以上含まない
• どの対角線も、+ を 2 つ以上含まない
• どの対角線も、+ と o の両方を同時に含まない
• どの対角線も、o を 2 つ以上含まない

となる。あるマスに o が書かれているというのは、あるマスに + と x の両方が書かれていると言い換えられる。この言い換えにより条件はよりシンプルになる。

• どの列/行も、x を 2 つ以上含まない
• どの対角線も、+ を 2 つ以上含まない

+/x を o に変える操作は許されているので、+/x は完全に独立して考えることができる。よって、それぞれ独立に最大化すればよい。これは貪欲にできる。

D適当に貪欲したけど提出してから不安になってアレ。

AtCoder Grand Contest 012 C: Tautonym Puzzle

http://agc012.contest.atcoder.jp/tasks/agc012_c

解法

空の列も良い文字列だとみなす。

順列 A, B があって、AとBを連結したもの(A+Bと表す)のパターン数が X だったとする。

• A←A+[foo], B←B+[foo] とすると A+B のパターン数は 2X になる。
• A←A+[foo], B←[foo]+B とすると A+B のパターン数は X+1 になる。

これを利用することで 4log(N) 個の要素で構築できる。

思いつかなかった…。

AtCoder Grand Contest 012 B: Splatter Painting

http://agc012.contest.atcoder.jp/tasks/agc012_b

解法

di が小さいのが鍵に見える。

dp[v][i] を「頂点 v から距離 i の範囲を dp[v][i] で塗りつぶせ」と考えると上手くいく。命令を小さい距離へどんどん伝搬していくイメージ。

補足

ある頂点から距離 d の範囲を塗りつぶすという命令は、距離 d-1 の塗りつぶし命令に分解できる。

距離 2 の命令を距離1の命令に分解するイメージ

頂点 v から距離 d の塗りつぶし命令が複数あるならば、最も新しい命令以外は無視しても良い。無視することにより計算量は O(d(n+m)) になる。

di が小さいことに気付けば簡単。

AtCoder Grand Contest 012 A: AtCoder Group Contest

http://agc012.contest.atcoder.jp/tasks/agc012_a

解法

入力を昇順にソートして考える。

適当な戦略を取ってみる。先頭から3つずつペアにしていくのはどうだろう。

_o__o__o__o_
000111222333

oになっているのが中央値。

これは改善ができる。

_o__o___o_o_
000111232233

改善の雰囲気から最適構造が見える。

____o_o_o_o_
012300112233

素直な貪欲。