AIM Tech Round 4 (Div. 1) D. Dynamic Shortest Path

http://codeforces.com/contest/843/problem/D

Keywords: SSSP | reweighting technique
Time Complexity: \( O(Q(N+M)) \)

Explanation

最小費用流や、負辺を含む全点対最短経路[1]などで用いられるポテンシャルを用いたreweightテクニックを使う。

Reweight

グラフ \(G\) における単一始点最短経路長を \(d(u)\) とする。このとき \(w'( (u,v))=w( (u,v))-d(u)+d(v)\) と置き直したグラフ \(G'\) における最短経路と \(G\) における最短経路は一致する。

元グラフ\(G\)の重みが\(w_2\)に変わった（非減少に変化）とき、新たな最短経路長を計算したいとする。このグラフの最短経路長を \(d_2(u)\) としたとき、先程と同様に \(w_2'( (u,v))=w_2( (u,v))-d(u)+d(v)\) と変形したとしても、やはり最短経路は変わらない。

最短経路が変わらないというのは、\(d_2'(u)=d_2(u)+d(u) \) だからである。\(-d(u)+d(v)\)の補正が最短経路長に与える影響が経路に依存していない（これがポテンシャルと呼ばれる由来だろう）ことから、最短経路が変化しないことが言える。

この問題を解く。reweighted graphにおける最短経路長はすべて 0 である。ここで重み増加クエリが来たとしても reweighted graph の最短経路は \(n\) でバウンドできる。つまり \(n\) 個 queue を持っておけば線形 dijkstra が可能である。

TLEしたため、type 2のクエリをやや溜めている。

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <queue>

using namespace std;

constexpr int N = 1e5;
int n, m, q;
int us[N], vs[N], ww[N];
vector<int> g[N];
long long dist[N];
int dist2[N];
vector<int> que[N*2];

void dijkstra() {
  for (int i = 0; i < n; i++) {
    dist[i] = 1e16;
  }
  priority_queue<pair<long long, int>> q;
  q.emplace(0, 0);
  dist[0] = 0;
  while (!q.empty()) {
    long long d = -q.top().first;
    int u = q.top().second;
    q.pop();
    if (dist[u] < d) continue;
    for (int id : g[u]) {
      int v = vs[id];
      if (dist[v] > dist[u] + ww[id]) {
        dist[v] = dist[u] + ww[id];
        q.emplace(-dist[v], v);
      }
    }
  }
}

int cap;

void dijkstra2() {
  if (cap == 0) return;
  que[0].push_back(0);
  for (int i = 0; i < n; i++) {
    dist2[i] = cap;
  }
  dist2[0] = 0;
  for (int d = 0; d < cap; d++) {
    while (!que[d].empty()) {
      int u = que[d].back(); que[d].pop_back();
      if (dist2[u] < d) continue;
      for (int id : g[u]) {
        int v = vs[id];
        int w = min<long long>(cap, ww[id] + dist[u] - dist[v]);
        if (dist2[v] > dist2[u] + w && dist2[u] + w < cap) {
          dist2[v] = dist2[u] + w;
          que[dist2[v]].push_back(v);
        }
      }
    }
  }
  for (int i = 0; i < n; i++) {
    dist[i] += dist2[i];
  }
  cap = 0;
}

int main() {
  cin >> n >> m >> q;
  for (int i = 0; i < m; i++) {
    scanf("%d %d %d", &us[i], &vs[i], &ww[i]);
    us[i]--;
    vs[i]--;
    g[us[i]].push_back(i);
  }
  dijkstra();
  while (q--) {
    int type;
    scanf("%d", &type);
    if (type == 1) {
      dijkstra2();
      int v;
      scanf("%d", &v);
      if (dist[v - 1] >= 1e16) {
        puts("-1");
      } else {
        printf("%lld\n", dist[v - 1]);
      }
    } else {
      int c;
      scanf("%d", &c);
      while (c--) {
        int l;
        scanf("%d", &l);
        ww[l - 1]++;
      }
      cap += n;
      if (cap == n*2) dijkstra2();
    }
  }
}

ポテンシャルは何でも良いが、ポテンシャルに最短経路長を用いることで三角不等式により全辺の重みを非負にすることができる。APSP では SSSP を n 回行うという方法が考えられるが、負辺が存在する場合に Dijkstra 法が使えない。そこで Bellman-Ford 法を用いて負辺を除去し、Dijkstra 法が使える状態に落ちし込む。これが Johnson's algorithm である。

References

[1]
https://en.wikipedia.org/wiki/Johnson%27s_algorithm. Retrieved 2017-08-29