Codeforces #425 (Div.2) E. Vasya and Shifts

http://codeforces.com/contest/832/problem/E

問題概要

文字列 s₁,s₂,...,s_n がそれぞれ 4 つずつ――全部で4n個――与えられる
使われている文字はabcdeの5種類で、文字列長はすべて m
4n個の文字列の中からいくつか選び、その総和が b になるようなパターン数を求めるクエリが飛んでくる
文字列の和は'a'=0,...,'e'=4として (s+t)[i]=(s[i]+t[i])%5で定義する
s_i を複数回使うとき、使う順序は区別しない。

解法

文字列で考える必要なまったくなくて、単に GF(5) 上の m 次元ベクトルと考えればいい。この問題は

\begin{equation}
\mathbf{b} = c_1 \mathbf{s}_1 + c_2 \mathbf{s}_2 + \cdots +c_n \mathbf{s}_n
\end{equation}

を満たすような \( (c_1,c_2,\ldots,c_n) \) が何通りあるか、という問題に還元できる。これは連立方程式であるから、線形代数の理論を用いると良い。係数行列を A とする。解が存在するならば \(5^{n-\mathrm{rank}A}\) 通り存在する。

したがって、連立方程式が解を持つかどうかを判定できれば良い。\(b\) が与えられるたびに掃き出し法を行うのでは遅いため、\( (A\,\mathbf{b_1}\,\mathbf{b_2}\,\cdots\,\mathbf{b_q}) \)という拡大係数行列を構築しまとめて掃き出し法を行う。

掃き出し法はまあ良いと思うんだけど、解の個数があまり自明ではないので証明のアイディアをつらつらと書いておく。

連立方程式\(Ac=b\) が解 \(Ac'=b\) を持ってるなら、\(A(c-c')=0\) と変形できる
上のように変形できるのであれば、解の個数は連立方程式\(Ax=0\) の解の個数と等しいはず
\(Ax=0\)となるような\(x\)全体を行列の\(A\)のカーネルと呼ぶ
解の個数は \( |\mathrm{Ker}A| \) と表せる
\( \mathrm{Ker} A \) は線形空間である
次元定理により \( \mathrm{rank}A+\mathrm{dim}\mathrm{Ker} A = \mathrm{dim}V \)――ここで A は V→W の線形写像
\(m\) 次元の線形空間は \(m\) 個の基底が存在し、すべての元は \( \lambda_1 u_1 + \lambda_2 u_2 + \cdots + \lambda_m u_m \) の形で一意に定まる
\(\mathbb{F}_5\)上の\(m\)次元の線形空間の要素数は \(5^m\) である

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <string>

constexpr int MOD = 5;

struct modint {
    int n;
    modint(int n = 0) : n(n) {}
};

std::string input() {
    static char buf[1000];
    scanf("%s", buf);
    return std::string(buf);
}

modint inv[5];

modint operator+(modint a, modint b) { return modint((a.n += b.n) >= MOD ? a.n - MOD : a.n); }
modint operator-(modint a, modint b) { return modint((a.n -= b.n) < 0 ? a.n + MOD : a.n); }
modint operator*(modint a, modint b) { return modint(1LL * a.n * b.n % MOD); }
modint operator/(modint a, modint b) { return a * inv[b.n]; }
modint &operator+=(modint &a, modint b) { return a = a + b; }
modint &operator-=(modint &a, modint b) { return a = a - b; }
modint &operator*=(modint &a, modint b) { return a = a * b; }
modint &operator/=(modint &a, modint b) { return a = a / b; }

int main() {
    inv[1] = 1;
    for (int i = 2; i < MOD; i++) {
        inv[i] = inv[MOD % i] * (MOD - MOD / i);
    }

    int n, m;
    std::cin >> n >> m;

    static modint a[500][800];

    for (int i = 0; i < n; i++) {
        std::string s = input();
        for (int j = 0; j < m; j++) {
            a[j][i] = s[j] - 'a';
        }
    }
    int q;
    std::cin >> q;
    for (int i = 0; i < q; i++) {
        std::string s = input();
        for (int j = 0; j < m; j++) {
            a[j][i + n] = s[j] - 'a';
        }
    }

    const int h = m;
    const int w = n + q;
    int r = 0;
    for (int j = 0; j < n && r < h; j++) {
        int p = r;
        for (int i = r; i < h; i++) {
            if (a[i][j].n != 0) {
                p = i;
                break;
            }
        }
        std::swap(a[p], a[r]);
        if (a[r][j].n == 0) continue;
        for (int jj = j + 1; jj < w; jj++) {
            a[r][jj] /= a[r][j];
        }
        a[r][j] = 1;
        for (int ii = r + 1; ii < h; ii++) {
            for (int jj = j + 1; jj < w; jj++) {
                a[ii][jj].n += 25 - a[ii][j].n * a[r][jj].n;
                a[ii][jj].n %= MOD;
            }
            a[ii][j] = 0;
        }
        r++;
    }

    constexpr long long MOD2 = 1e9 + 7;
    long long pw = 1;
    for (int i = 0; i < n - r; i++) {
        pw *= 5;
        pw %= MOD2;
    }

    for (int j = 0; j < q; j++) {
        long long ans = pw;
        for (int i = r; i < m; i++) {
            if (a[i][j + n].n != 0) {
                ans = 0;
            }
        }
        printf("%d\n", (int)ans);
    }
}

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